De bezoekers domineerden het grootste deel van de wedstrijd, maar hadden zes minuten voor tijd een penalty van Mohamed Salah nodig om een nederlaag te voorkomen na spectaculaire goals van Bruno Fernandes en Kobbie Mainoo.
Doorhet gelijkspel blijft Liverpool achter koploper Arsenal op doelsaldo en slechts één punt voor op Manchester City met nog zeven wedstrijden te gaan in de spannendste titelrace.
Ondanks de problemen van United dit seizoen, heeft Liverpool de mannen van Erik ten Hag nog niet verslagen in drie ontmoetingen dit seizoen.
United won drie weken geleden een spannende kwartfinale van de FA Cup met 4-3 en speelde in december met 0-0 gelijk op Anfield.
"Het voelt als een nederlaag", zei Van Dijk. "Het is weer onze fout. We hadden zoveel kansen en we moeten de wedstrijd afmaken."
Mochten de Reds er niet in slagen om het laatste seizoen van Jurgen Klopp in te luiden met het winnen van een 20e Premier League-titel, wat het record van United zou evenaren, dan zullen ze terugkijken op deze dag en zich afvragen hoe ze er niet in zijn geslaagd om te winnen.
Voor Liverpool was het een vergelijkbaar verhaal als in de FA Cup, toen ze een aantal kansen verkwansten om hun voorsprong uit te breiden en uiteindelijk werden getroffen door late goals van Manchester United.
Liverpool eindigde de eerste helft met 15 schoten, terwijl de ploeg van Manchester United de eerste helft eindigde met nul doelpogingen.
"Met 1-0 voorstaan op Old Trafford en 15 schoten tegenover 0 is ongelofelijk", zei Klopp. "Daarnaast hadden we op momenten rustiger of duidelijker kunnen zijn. Blijf gewoon rustig. We zijn waar we zijn en we blijven het proberen. Had ik gewild dat we 10 punten verschil hadden? Natuurlijk. We nemen wat we hebben en blijven doorgaan."
Liverpool was met stomheid geslagen toen de titelrace na 50 minuten uit het niets een nieuwe wending nam.
De slappe pass van Jarell Quansah ging recht op Fernandes af, die Caoimhin Kelleher goed van zijn lijn zag en de Ierse doelman van net binnen de Liverpool-half lobde. United kwam plotseling weer op voorsprong 23 minuten na tijd, toen Mainoo zijn status als rijzende ster in de Premier League bevestigde.
Mainoo schittert
De 18-jarige speler beleefde dit seizoen een razendsnelle opmars en zorgde voor het grootste moment uit zijn carrière tot nu toe door de bal in de bovenhoek te krullen.
Klopp reageerde onmiddellijk door Harvey Elliott en Cody Gakpo het veld in te sturen.
Elliott werd gevloerd door Aaron Wan-Bissaka en Salah hield het hoofd koel en scoorde voor de 14e keer in 15 wedstrijden tegen United.
Maar Liverpool slaagde er niet in om een winnende treffer te vinden en de koppositie van Arsenal op doelsaldo over te nemen. Een punt draagt ook weinig bij aan de hoop van United om zich te kwalificeren voor de Champions League van volgend seizoen.
De mannen van Ten Hag staan 11 punten achter op het op de vierde plaats staande Aston Villa en hebben in de afgelopen acht dagen drie keer een late voorsprong om zeep geholpen.
De nieuwe mede-eigenaar van United, Jim Ratcliffe, was aanwezig en Ten Hag's toekomst als trainer blijft onduidelijk voor volgend seizoen.
"Aan de ene kant ben ik teleurgesteld dat we zeven punten hebben laten liggen in één week nadat we in winnende positie stonden, maar we moeten onszelf de schuld geven van het maken van domme fouten," zei Ten Hag.
"Aan de andere kant ben ik heel trots. Je ziet hoe we verbeteren en de potentie van deze ploeg is geweldig."